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Sumas de Riemann

Sumas de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann se utiliza para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva. Este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calculando el área de cada uno de ellos y sumándolos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Sumas de Riemann

La suma de Riemann es el nombre que se da al cálculo aproximado de una integral definida, mediante una suma discreta con un número finito de términos. Una aplicación común es la aproximación del área de la función en un gráfico.

Fue el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) el primero en ofrecer una definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo determinado. Lo dio a conocer en un artículo publicado en 1854.

Fórmulas y propiedades

La suma de Riemann de la función f(x) en la partición

P = {x0= a, x1, x2, ..., xn= b}

Definido en el rango [a, b], está dado por:

S(P, f) = ∑k=1n f(tk) (xk - xk-1)

Donde tk es un valor en el intervalo [xk, xk-1]. En la suma de Riemann se suelen utilizar intervalos regulares de anchura Δx = (b - a)/n, donde a y b son los valores mínimo y máximo de la abscisa, mientras que n es el número de subdivisiones.

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En este caso la suma correcta de Riemann es:

Sd(f, n)= [f(a+Δx) +f(a+2Δx)+ ...+f(a+(n-1)Δx)+f(b)]*Δx

¿Para qué se usan las Sumas de Riemann?

Las Sumas de Riemann se usan para calcular el valor de una integral definida, esta también puede ser definida como el área bajo una curva. El procedimiento teórico nos explica que para encontrar el área de una figura irregular debemos dividir la figura en un número infinito de rectángulos, cuantos más rectángulos tengamos más preciso será el valor del área que obtengamos, esto es debido a que puede existir un error a la hora de hacer los cálculos y la forma de reducir el error es dividiendo la diferencia hasta que este error no represente un gran problema.

 

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