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Derivadas ejercicios resueltos paso a paso

Derivadas ejercicios resueltos paso a paso
Se trata de reglas que permiten el cálculo de los derivados de las funciones.

¿Qué es una derivada?

El cálculo de los derivados puede hacerse de dos maneras: utilizando la definición de derivado, que implica un límite que tiende a ser indefinido, o utilizando reglas de derivación, cuyo funcionamiento está garantizado por el análisis matemático.

En primer lugar, las derivadas, cuando existen, determinan la pendiente de la línea tangente a una función f (x). Esta pendiente se conoce también como tipo de cambio y se utiliza para resolver los más variados tipos de problemas matemáticos. Para determinar esta pendiente, se debe calcular el límite a continuación. De esta manera, f '(x) es la derivada de la función f (x) y se dice que f (x) es derivable en el punto p. Para representarla podemos aplicar esta fórmula

f '(x) = lim f (x) - f (p)
x → p x - p

Las notaciones más utilizadas para el derivado de la función f (x) son: f '(x) o [ f (x)]'. Si estas derivadas se calculan en el punto p, las notaciones se convertirán en: f '(p) o [ f (p)]'.

El cálculo de este límite no es un gran reto para las funciones polinómicas con grados 2 ó 3, porque las propiedades del límite garantizan que la suma de las sumas es igual a la suma de los límites, y por lo tanto, antes del límite de un polinomio, simplemente tenemos que calcular los límites de cada monomio que ha formado el polinomio. Sin embargo, las funciones polinómicas de muy alto grado u otro tipo de funciones imponen un alto grado de dificultad en el cálculo de este límite. Por lo tanto, buscando una mayor agilidad y facilidad en el cálculo de las derivadas, es posible probar los resultados posteriores, generalmente conocidos como propiedades derivadas o reglas de derivación.

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Reglas básicas de derivación

Derivado de una suma

El derivado de la suma de dos funciones es igual a la suma de los derivados de cada una.

Derivada de una constante por una función

La regla de la derivada de una constante por una función se representa de la siguiente manera:


Derivada de un producto

"La derivada de un producto de dos funciones es igual a la suma entre el producto de la primera función sin derivación y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivación.

Derivado de un cociente

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función situada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivada, todo en la función del denominador cuadrado".

Derivada de una constante

Esta regla es muy simple: la derivada de una constante es igual a cero.

EJEMPLOS

Calcular la derivada de f (x) = x 3

Por la regla de derivación:

f ‘(x) = 3x 3 – 1 = 3x 2

Calcular la derivada de f (x) = 3x 4

Por la regla de derivación:

f ‘(x) = 4 · 3x 4 – 1

f ‘(x) = 12x 3

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