Discusión de una ecuación
- Encontramos el rango de la matriz de los coeficientes.
- Calculamos el rango de la matriz extendida.
- Aplicamos el teorema de Rouché.
r = r' Sistema compatible.
r = r'= n Sistema compatible determinado.
r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado.
r ≠ r' Sistema Incompatible.
Si el sistema es compatible determinado se resuelve por la regla de Cramer (también puede ser resuelto por el método de Gauss).
Si el sistema es compatible, indeterminado se resuelve por eso:
El número de ecuaciones = rango
El número de parámetros = número de incógnitas menos el rango
Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos nulos independientes se dice que es homogéneo.
Admiten la solución trivial: x1 = x2 = . = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el número de incógnitas, es decir, que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo.
r < n
Ejercicio de discusión de una ecuación
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.
r(A) = 3
Hallamos el rango de la matriz ampliada
r(A') = 3
Aplicamos el teorema de Rouché.
Se resuelve el sistema, si éste no es incompatible, por la regla de Cramer o por el método de Gauss
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.
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