Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita

Desigualdades de primer grado con una incógnita

• Las desigualdades de primer grado (lineales) pueden resolverse de manera similar a las ecuaciones lineales.
• Es decir, lo desconocido puede ser aclarado usando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.
• Como veremos en los ejemplos, es necesario tener en cuenta una diferencia muy importante, porque cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, se invierte la dirección de la desigualdad, es decir, de menor cambio a menor y viceversa.

Desigualdades de segundo grado con una incógnita

• Las desigualdades de primer grado (lineales) pueden resolverse de manera similar a las ecuaciones lineales.
• Según las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización o por compensación.
• Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por los números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz cuadrada. Este efecto se explicará en los ejemplos.
• El resultado se representará en notación de intervalo y con representación en la línea numérica.

Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita

Resolveremos un par de ejemplos de cada tipo de desigualdad.

Comenzaremos con las de primer grado con una incógnita.

3x – 5 ≥ 5x + 15

Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad

3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5
3x ≥ 5x + 20

Restamos 5x en ambos lados
3x – 5x ≥ 5x + 20 – 5x
-2x ≥ 20

Multiplicamos ambos lados por -1/2 *
-1/2(-2x) ≤ -1/2(20)
x ≤ -10

* La dirección de la desigualdad cambia al multiplicar por un número negativo.

El resultado es el intervalo (-∞ , -10]2) (1/3)x + 1/2 < -2x + 1

Restamos 1/2 a los dos lados
(1/3)x + 1/2 – 1/2 < -2x + 1 – 1/2
(1/3)x < -2x + 1/2

Sumamos 2x en ambos lados
(1/3)x + 2x < -2x + 1/2 + 2x
(7/3)x < 1/2

Multiplicamos a los dos lados por 3/7
3/7(7/3)x < 3/7(1/2)
x < 3/14