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Integrales por sustitución

Integrales por sustitución
La idea detrás de esta regla es reemplazar una integral relativamente complicada por otra más simple. Esto se hace pasando de la variable original x a una nueva variable u que es una función de x. El principal desafío al aplicar la regla de sustitución es pensar en una sustitución apropiada. Intenta elegir u como alguna función en la integral cuyo diferencial también está presente. Si esto no es posible, elige u como alguna parte complicada del integrando. Encontrar la sustitución adecuada implica un poco de arte. No es raro que la primera suposición sea errónea, si la suposición no funciona deberías intentar otra.

Integrales por sustitución

Al evaluar una integral definida por sustitución, se pueden aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral no definida y, más tarde, la segunda parte del teorema fundamental. El otro, que suele ser más preferible, consiste en modificar los límites de la integración cuando se modifica la variable.

Existen varios métodos de integración, todos ellos consistentes en reducir la integral deseada a una integral ya conocida, como una de las de la tabla, o reducirla a una integral más simple.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Queremos hacer la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de función. Entonces, para el cambio,

x = g(t)

dx = g′(t)dt

∫ ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt

De esta manera el integrando se ha transformado de acuerdo con la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido correcta, el integrando resultante es más fácil de integrar. El éxito de la integración depende, en gran medida, de la capacidad de elegir el reemplazo apropiado de la variable.

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Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable sustituyendo t = g (x).

Así pues, tenemos la integral indefinida en función de la variable inicial x.

Ejemplo de Integrales por sustitución

Ejemplo 1

∫ (3x − 5)4 dx

∫ u4 du, lo que sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5.

u = 3x-5  du = 3 dx  dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫(3 x − 5)4 dx ==∫u4 du / 3 = ∫ u4 du

=(u5/5 ) + c = u5/15 +c=∫(3 x − 5)5/15 +c

Ejemplo 2

∫ cos4x senx dx

∫ u4 du

Hay que tomar el cambio de variable u = cosx.

u = cosx  du = -senx dx  dx = -du

∫(cosx) 4 (senx dx) =∫(u4) (-du)=-∫u4 du= -(u5/5) + c

=-(Cos5x/5 ) + c

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