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Ecuación del plano que pasa por tres puntos ejercicios resueltos

Ecuación del plano que pasa por tres puntos ejercicios resueltos
Para determinar un plano en el espacio se necesita un punto y dos direcciones diferentes. Estas direcciones están dadas por dos vectores linealmente independientes que se llaman vectores directores del plano. Es importante señalar que es equivalente tener un punto y dos vectores linealmente independientes que tener tres puntos no alineados.

ECUACIÓN VECTORIAL

Si se conoce un punto  de un plano y dos vectores de dirección , se pueden determinar todos sus puntos, a la identificación de esos puntos se le conoce como ecuación del plano.

Un punto cualquiera del plano x viene determinado por su vector de posición , como conocemos p, su vector de posición será .
Es claro que , al estar  y  en el plano,  es un vector de dirección del plano, como  y  son dos vectores directores entonces  es combinación lineal de  y , es decir, existen  y  tal que .
Luego la ecuación vectorial del plano es

¿Qué formas de ecuaciones planas existen?

Si tienes tres puntos, puedes poner el plano en la forma paramétrica, en la forma de coordenadas o en la forma general. La solución más simple es determinar la ecuación paramétrica porque puedes calcular la dirección a través de los tres puntos. Y a partir de ahí conviertes la forma paramétrica en la forma de coordenadas y en la forma general.

Ecuación del plano que pasa por tres puntos ejercicios resueltos

  • Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.
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Recordemos que si conocemos los puntos en los que se intersecta un plano con los ejes

La ecuación canónica del plano está dada por

Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos de los semiejes positivos desde el origen hasta el punto de intersección son iguales. Entonces la ecuación canónica es:

Para obtener el valor de a sólo basta sustituir las coordenadas del punto P(1, 2, 1) en la ecuación

La ecuación del plano es entonces

 

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