Base de un espacio vectorial ejemplos

Un subconjunto finito de vectores se denomina base si los vectores que la forman son linealmente independientes y forman un sistema de generación de espacio. Un sistema generador de espacio Rn es un subconjunto A={v1,v2,v3,…vn} tal que cualquier vector del espacio puede expresarse como una combinación lineal del elemento de A, es decir, para toda u de Rn, u puede escribirse como: u = a1∙v1+ a2∙v2+….+ an∙vn con a1, a2,…., un número real donde no todos son cero. Los escalares a1,a2,…, an se denominan según las coordenadas del vector u en la base formada por los vectores {v1,v2,….vn}.

Bases en el espacio vectorial

Vectores dependientes lineales: Un conjunto de vectores será linealmente dependiente si cualquiera de ellos puede ser expresado como una combinación lineal del resto. Otra definición equivalente será que el vector cero puede expresarse como una combinación lineal de este conjunto de vectores en la que al menos algún coeficiente será distinto de cero.
Vectores linealmente independientes: Un conjunto de vectores será linealmente independiente si ninguno de ellos puede expresarse como una combinación lineal del resto de los vectores. Otra forma de definirlo será si el vector cero sólo puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores cuando los coeficientes que multiplican cada vector sean cero.

Pues bien, en el estudio del plano, siempre que tengamos un conjunto de dos vectores linealmente independientes, podremos expresar cualquier vector del plano como una combinación lineal de estos dos vectores.

La idea es simple: en el plano tenemos dos dimensiones, la longitud y la anchura. Cada vector dará una dirección del plano. Si tenemos dos direcciones, de éstas podremos obtener el resto de direcciones simplemente buscando combinaciones lineales de estos vectores.

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Base de un espacio vectorial ejemplos

Demostrar que una base para el avión, es decir, para el espacio R2, es B={(1,0), (0,1)}.

En primer lugar, tenemos que demostrar que los vectores son linealmente independientes, para ello, como hemos visto en ocasiones anteriores, podemos utilizar dos métodos:

Método A: Comprobar que el rango de la matriz que forman es 2, lo cual es evidente.
Método B: Tenemos que cumplir que: a∙(1,0)+b∙(0,1) = (0,0) luego a=b=0, que en este caso también es evidente.

Demostrar que cualquier vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores que forman la base, por ejemplo, tomemos el vector (-2,6): a∙(1,0)+b∙(0,1)=(-2,6)→a=-2, b=6. Por lo tanto, las coordenadas en la base B del vector son (-2,6), en este caso coinciden ya que B es una base especial.

Por lo tanto B={(1,0), (0,1)} es una base, esta base se llama base canónica y es la base que utilizamos siempre que trabajamos en el plano. De forma similar, la base canónica en el espacio tridimensional será B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

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