Razones trigonométricas para un angulo en cualquier cuadrante

La definición de las relaciones trigonométricas que se ven es válida sólo para un ángulo agudo en un triángulo de ángulo recto. Para definir las relaciones trigonométricas de cualquier ángulo, se construye un círculo de radio 1 con centro en el origen de la coordenada. Para representar un ángulo, se coloca el vértice en el origen de coordenadas y se hace coincidir uno de los semirrectos con el semieje positivo de la abscisa. La otra semirrecta dependerá del valor del ángulo.

Razones trigonométricas para un angulo en cualquier cuadrante

Un ángulo puede ser localizado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes relaciones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se localiza en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro en el primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tienen los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las relaciones trigonométricas de los ángulos situados en los diferentes cuadrantes eran esenciales cuando no se disponía de calculadoras. Había tablas con los valores de las relaciones para los ángulos del primer cuadrante. Los otros ángulos no estaban en la tabla porque no era necesario: bastaba con reducirlos al primer cuadrante.

Sin embargo, el tema sigue siendo de interés para la aplicación de las relaciones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocido una de sus relaciones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una relación trigonométrica, la calculadora sólo proporciona una solución. Encontraremos el resto de las soluciones con el conocimiento adquirido en esta unidad.

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Trabajaremos con círculos goniométricos, es decir, de radio 1.

RELACIÓN ENTRE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A".

La relación de las relaciones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario permitirá "reducir" los ángulos del segundo al primer cuadrante.

Como se puede ver en la figura, los triángulos OMA y ON(180º-A) son iguales ya que al ser rectángulos tienen la misma hipotenusa (es el radio) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON

Por consiguiente,

sin (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sin A
cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente del seno entre el coseno:

tg (180º-A) = sin (180º-A)/cos(180º-A) = sin A / - cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones entre las relaciones trigonométricas de los ángulos suplementarios son

pecado (180º-A) = + pecado A
cos(180º-A) = - cos A
tg (180º-A) = - tg A

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