Ejercicios de funciones compuestas

En el álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello se aplica la función más cercana al argumento y la función restante se aplica finalmente al resultado del cálculo anterior. Utilizando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente a X. G ∘ f se denomina la composición de f y g, o f compuesta con g. Nótese que se denomina no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que las funciones se aplican a su argumento.

Funciones compuestas

Dadas dos funciones f y g, como f: X → Y y g: Y → Z, donde es necesario que la imagen de f esté contenida en el dominio de g, se define la función compuesta de f y g: g(f(x)) (cuidado porque para leerla o nombrarla se hace lo contrario de como se escribe) como (g∘ f)(x)=g(f(x)), para todas las x pertenecientes a X. Podemos representarla como:

Es necesario señalar que la función compuesta así definida está bien definida ya que cumple las dos condiciones necesarias: la de la existencia y la de la unicidad.

Condición de existencia: Para cualquier valor de x en el dominio de f podemos encontrar (x,f(x)), y para cualquier elemento y=f(x) en el dominio de g podemos encontrar (y,g(y))=(f(x),g(f(x))). Por lo tanto, podemos decir que g(f(x)) cumple la condición de existencia. Veamos ahora qué sucede con la condición de unicidad.
Condición de unicidad: Como tanto f como g son funciones bien definidas, para cada valor de x hay un único valor f(x) (ya que de otro modo no sería una función), y para cada f(x) hay también un único valor de g(f(x)).

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Con lo cual se demuestra que la función compuesta está bien definida.

Por ejemplo, sea f(x)=3x-1 y g(x)=1/x, entonces g(f(x))=1/(3x-1).

Propiedades de funciones compuestas

La función compuesta cumple la propiedad asociativa: h∘ (g∘ f)= (h∘ g)∘ f
La función de composición no es conmutable: (g∘ f) ≠ (f∘ g)
Tiene un elemento neutro que es la función de identidad I(x)=x: (I∘ g)=(g∘ I)=g

La composición de una función con su inversa nos da la identidad de la función, es decir, hay un elemento simétrico, que es la función inversa:

Si realizamos la función inversa de la composición de una función obtenemos la composición de sus inversas intercambiando el orden de la composición:

Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x), entonces existe la derivada de la función compuesta y se calcula utilizando la regla conocida de la cadena: (g∘ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)

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