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Covarianza ejercicios resueltos

Covarianza ejercicios resueltos
En probabilidad y estadística, la covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias con respecto a su media. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y también es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la línea de regresión.

COVARIANZA Definición

Medida del grado en que dos variables aleatorias se mueven en la misma dirección o en direcciones opuestas entre sí. En otras palabras, si dos variables aleatorias se mueven generalmente en la misma dirección se dirá que tienen una covarianza positiva. Si tienden a moverse en direcciones opuestas, se dirá que tienen una covarianza negativa. La covarianza se mide como el valor esperado de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto de sus medias correspondientes. Una varianza es un caso especial de covarianza.

Interpretación de la covarianza

  • Si  hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
  • Si  Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.
  • Si  hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

Iguales interpretaciones se aplican al parámetro

Propiedades

Si XYW, y V son variables aleatorias y abcd son constantes ("constante" en este contexto significa no aleatorio), se cumple que:

  • , fórmula que suele emplearse en la práctica para calcular la covarianza.

Estas propiedades se deducen casi directamente de la definición de covarianza. En otras palabras, la covarianza intenta explicar cómo se relacionan dos variables entre sí, cuánto se mueve una cuando la otra se mueve tanto. Por ejemplo, si la variable X se mueve 1, supongamos que la variable Y se mueve 2, entonces podemos decir que la variable Y se mueve positivamente el doble de lo que se movería la variable X.

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Covarianza ejercicios resueltos

Supongamos que tenemos dos variables, X e Y, con los siguientes datos:

X = (x1, x2, x3) = (0, 4, 8)
Y = (y1, y2, y3) = (3, 9, 9)

Ahora es el momento de calcular la media aritmética de cada una de las variables. Veámoslo:

X’ = (0 + 4 + 8) /3 = 4
Y’ = (3 + 9 + 9) /3 = 7

Una vez calculada la media aritmética hemos de calcular cuál es la covarianza.

Cov (X, Y) = (0 – 4) x (3 – 7) + (4 – 4) x (3 – 7) + (8 – 4) x (9 – 7) / 3 = -2,67

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