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Punto de intersección de dos rectas ejercicios resueltos

Punto de intersección de dos rectas ejercicios resueltos
Siempre que haya dos líneas que no sean paralelas tendrán un punto de intersección en algún lugar del plano cartesiano, para saber si estas líneas son paralelas o no basta con mirar el valor de la pendiente, para ello primero hay que ordenar la ecuación de la línea de la forma y=mx+b, donde el valor de “m” es la pendiente, luego, si el valor de la pendiente de ambas líneas es el mismo, entonces estas dos líneas no tienen un punto de intersección, si el valor de las pendientes tienen el mismo valor pero con diferente signo entonces estas si se interceptan

Punto de intersección de dos rectas

Si dos líneas se cruzan, hemos mencionado que se cruzan en un solo punto, pero no se ha mencionado la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos líneas es el punto donde son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente manera

l_1 : \ y = m_1 x + b_1
l_2 : \ y = m_2 x + b_2

El punto P_0 = (x_0,y_0) es el punto de intersección de l_1 y l_2, si los valores de x_0 y y_0 satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no investigaremos este tema porque al observar que las líneas se expresan en la forma de pendiente ordenada, simplemente ecualizamos las expresiones que las definen y luego calculamos el valor de las incógnitas.

Punto de intersección de dos rectas ejercicios resueltos

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = 3x-3 y l_2 : y = -x + 1.

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l_1 : \ y = 3x-3
l_2 : \ y = -x + 1

Emparejamos las dos expresiones que definen estas dos líneas, y luego borramos la variable x

3x-3 = -x + 1

\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3
\Rightarrow \ 4x = 4
\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}
\Rightarrow \ x = 1

Emparejamos las dos expresiones que definen estas dos líneas, y luego borramos la variable x=1 y teniendo en cuenta que este valor es común en ambas líneas, podemos sustituirlo en las líneas de nuestra preferencia para calcular el valor de y.

Sustituyamos el valor de x=1 en l_1:

y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0

Si sustituimos el valor de x=1 en la recta l_2, obtenemos el mismo valor para y:

y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = (1,0) .

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