¿Cómo se calcula el rango de una matriz?
Este tema del álgebra con matrices puede ser algo difícil de entender, pero la verdad es que si sabemos exactamente a qué corresponde el rango de una matriz, de qué está compuesta y cómo podemos realizar correctamente los pasos para su cálculo, verán cómo no es tan complicado averiguar su rango.
En primer lugar, tenemos que saber que el rango de una matriz, corresponde al número de líneas de esa matriz (formadas por filas y columnas) que son linealmente independientes, es decir, cuando no podemos establecer una combinación lineal entre ellas. En la definición matemática de rango de una matriz tenemos que será "el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula", es decir, que a partir de esto, podemos calcular el rango siguiendo los siguientes pasos.
Pasos para calcular el rango de una matriz
Para saber cómo calcular el alcance de un conjunto y a partir de la definición que acabamos de dar, podemos utilizar un método, llamado método de Gauss, que consiste en un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que podemos eliminar línea (fila o columna) de nuestra sombra si cumplen los siguientes requisitos:
- Todos sus coeficientes son ceros.
- Tenemos dos líneas iguales
- La línea es proporcional a otra
- La línea surge de la combinación lineal de otras.
MÉTODOS PARA CALCULAR EL RANGO
Método Gaussiano
Este método consiste en hacer ceros en la matriz debajo de la diagonal principal mediante operaciones con las filas (sin embargo, también se podrían realizar operaciones con las columnas). El rango será el número de filas no nulas que nos queda.
Ejemplo: Como podemos ver en el siguiente ejemplo, primero hacemos ceros en la primera columna usando la primera fila, dejándola fija. Una vez que ya hemos hecho ceros en la primera columna nos movemos para hacer ceros en la segunda columna, usando la segunda fila y dejando la primera fila y la segunda fijas.
Nuestra matriz tiene un orden dos, ya que hay dos filas diferentes de cero.
Orlar menores
El método de recorte de menores, consiste en comenzar buscando un menor de orden dos cuyo determinante sea diferente de cero, y luego recortar, es decir, añadir una fila y una columna a este determinante, para recalcularlo y obtener un determinante diferente de cero. El rango de la matriz será el orden del menor mayor con determinante distinto de cero que se obtenga.
APLICACIONES DEL RANGO DE UNA MATRIZ
Entre las aplicaciones más destacadas del rango de una matriz están
- La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales: cuando la matriz de coeficientes y la matriz extendida tienen el mismo rango el sistema tiene una solución.
- Para determinar la linealidad de los vectores de una base.
- Determinar la dimensión del núcleo de una aplicación lineal: dim (Ker f)
- En la teoría de control se utilizan para determinar si un sistema es controlable o observable.
