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Integrales de raíces

Integrales de raíces
El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente polinómico en una suma de fracciones polinómicas de menor grado. Se utiliza principalmente en el cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio denominador sea estrictamente superior al del numerador.

Integrales de raíces

Las raices del denominador son imaginarias:      x = ± √-1 = ± i

Resolvemos la integral descomponiéndola en dos sumas:

Podemos factorizar el denominador así:

x3 + x = x(x2 + 1)

Luego las raíces de   x3 + x = 0   son :     0   ,   ±√-1

Son tres raíces: una real simple y dos complejas simples.

Por tanto:

Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que ser iguales:

Para   x = 0 :      1 = A

Para   x = 1 :      3 = 2A + M + N      ⇒      3 = 2 + M + N      ⇒      M + N = 1

Para   x = -1 :      -1 = 2A + M - N      ⇒      -1 = 2 + M - N      ⇒      M - N = -3

Resolviendo el sistema se tiene:      M = - 1   ,   N = 2

Resolviendo las integrales inmediatas y aplicando las propiedades de los logaritmos:

 

Como numerador y denominador tienen mismo grado, realizamos la división y aplicamos la fórmula del cociente:

            

La primera integral es inmediata. La segunda es de tipo racional, por lo que calculamos las raíces del denominador y después lo factorizamos:

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