Covarianza ejercicios resueltos

En probabilidad y estadística, la covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias con respecto a su media. Es el dato básico para determinar si existe una dependencia entre ambas variables y también es el dato necesario para estimar otros parámetros básicos, como el coeficiente de correlación lineal o la línea de regresión.

COVARIANZA Definición

Medida del grado en que dos variables aleatorias se mueven en la misma dirección o en direcciones opuestas entre sí. En otras palabras, si dos variables aleatorias se mueven generalmente en la misma dirección se dirá que tienen una covarianza positiva. Si tienden a moverse en direcciones opuestas, se dirá que tienen una covarianza negativa. La covarianza se mide como el valor esperado de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto de sus medias correspondientes. Una varianza es un caso especial de covarianza.

Interpretación de la covarianza

Si $<img decoding="async" class="alignnone" style="border: 0px; vertical-align: -1.005ex; display: inline-block; width: 7.341ex; height: 2.843ex;" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0cfa9c6baaf2c5c9af2700f404784e92b11bab" alt="" width="59" height="23" aria-hidden="true" />$ hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
Si $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcec53a42ddfedc6435efbf5d9866c1287ff29c0" alt="" width="59" height="23" aria-hidden="true" />$ Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.
Si $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8396f19cdf493c723de0317ac3b21cd84771798a" alt="" width="59" height="23" aria-hidden="true" />$ hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

Iguales interpretaciones se aplican al parámetro $<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb37f536a455d0241587a0c1cad2ca14b597c0db" alt="" width="53" height="23" aria-hidden="true" />$

Propiedades

Si X, Y, W, y V son variables aleatorias y a, b, c, d son constantes ("constante" en este contexto significa no aleatorio), se cumple que:

$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764576a8e21bc371ea357e714f1faf6ee7e5bb69" alt="" width="118" height="23" aria-hidden="true" />$
$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e039ee8e78d60ba90c5f7862c6d79485fea576c0" alt="" width="176" height="23" aria-hidden="true" />$
$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d943f8f05674b86a415fbce152697387abbe8fe1" alt="" width="199" height="23" aria-hidden="true" />$
$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21615890b9443467d9e3b63b3962a1ddf8cd85ce" alt="" width="240" height="23" aria-hidden="true" />$
$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df8e48dc15af16188c8f33511390e47499aaae7" alt="" width="262" height="23" aria-hidden="true" />$
$\operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,$
$<img decoding="async" class="alignnone" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca499b7bb89200c7181f22e662ef77bcf382dec" alt="" width="277" height="23" aria-hidden="true" />$ , fórmula que suele emplearse en la práctica para calcular la covarianza.

Estas propiedades se deducen casi directamente de la definición de covarianza. En otras palabras, la covarianza intenta explicar cómo se relacionan dos variables entre sí, cuánto se mueve una cuando la otra se mueve tanto. Por ejemplo, si la variable X se mueve 1, supongamos que la variable Y se mueve 2, entonces podemos decir que la variable Y se mueve positivamente el doble de lo que se movería la variable X.

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