Cómo hacer integrales definidas
La función f (x) está definida y es continua durante un intervalo real [a, b]. La integral definida de f (x), de a a b , es un NÚMERO real y se indica con el símbolo:
Donde:
a es el límite inferior de la integración;
b es el límite superior de integración;
f (x) es el integrando.
Para entenderlo mejor, podemos decir que una integral definida tiene valores iniciales y finales: en otras palabras, hay un intervalo [a, b].
ayb (llamados límites, fronteras o límites) se colocan en la parte inferior y superior de la "S", de esta manera:
Encontramos la integral definida calculando la integral indefinida en a , y en b , y luego restando.
REGLA DEL BARROW
Para el correcto cálculo de las integrales definidas tenemos que recurrir a la regla de Barrow que establece que teniendo una función continua en un intervalo [a,b], podemos calcular ∫baf(x)dx de una manera más rápida.
En la regla de Barrow:
Sea f una función continua en [a,b] y F una primitiva de f. Esto se representa de la siguiente manera:
∫baf=F(b)-F(a)
Para aplicar este teorema puedes ver este ejercicio resuelto que te dejamos en la imagen de abajo:
Cómo hacer integrales indefinidas
En cuanto a la integral indefinida de f (x) podemos decir que es una FUNCIÓN y responde a la pregunta, "¿Qué función cuando la diferenciación da f (x)?
Con una integral indefinida no hay límites superiores e inferiores para la integral, por lo que esta es una de las principales diferencias con las integrales definidas. Además, en las integrales indefinidas lo que obtenemos es una respuesta que todavía tiene x 's en ella y también tendrá una constante (generalmente denotada por C ).
La integral indefinida generalmente da una solución general a la ecuación diferencial.
La integral indefinida es una forma más general de integración, y puede interpretarse como la antideriva de la función considerada.
Supongamos que la diferenciación de la función F conduce a otra función f , y la integración de f da la integral. Simbólicamente, esto se escribe como
F (x) = ∫ƒ (x) dx
o
F = ∫ƒ dx
donde tanto F como ƒ son funciones de x , y F es diferenciable. En la forma anterior, se llama integral de Reimann y la función resultante acompaña a una constante arbitraria.
Una integral indefinida a menudo produce una familia de funciones; por lo tanto, la integral es indefinida.
Las integrales y el proceso de integración son fundamentales para resolver las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, a diferencia de los pasos de la diferenciación, los pasos de la integración no siempre siguen una rutina clara y estándar. En ocasiones, vemos que la solución no puede expresarse explícitamente en términos de función elemental. En ese caso, la solución analítica suele presentarse en forma de una integral no definida.
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