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Monotonía de una función

Monotonía de una función
La monotonía de una función implica la descripción de sus intervalos de crecimiento y declive, así como la descripción de sus extremos relativos (también llamados puntos críticos) y su localización. Vamos a hacer todo esto usando como herramienta la primera derivada de la función a estudiar.

Crecimiento de una función en un intervalo

Una función   f(x)   es estrictamente creciente en un intervalo   (a, b)   si para dos valores cualesquiera del intervalo   x1   y   x2   tales que   x1 < x2 , se cumple que   f(x1) < f(x2).

Decir que   f(x1) < f(x2)   es lo mismo que :

                        

Será creciente si   f(x1) ≤ f(x2)  , es decir:

                        

Una función es creciente si al aumentar la  'x' aumenta la 'y' .

Ejemplos de funciones estrictamente crecientes

1)    f(x) = 2x

 

La función   f(x) = 2x   es estrictamente creciente en   R , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   obtenemos que:

 

 

2)    f(x) = x3

 

Es estrictamente creciente en   R , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   obtenemos que:

 

 

Crecimiento de una función en un punto

Una función   f(x)   es estrictamente creciente en un punto de abscisa   x   si existe un entorno simétrico de   x   en el que la función es estrictamente creciente. Es decir:

 

 

Una función   f(x)   es creciente en un punto de abscisa   x   si existe un entorno simétrico de   x   en el que la función es creciente. Es decir:

 

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