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Método de ruffini

Método de ruffini
Es un método (algoritmo) que permite obtener las raíces de un polinomio. Es muy útil porque para grados mayores de 2 no tenemos fórmulas, al menos fáciles, para obtenerlas. Cada vez que hacemos una tabla a partir de los coeficientes del polinomio, obtenemos una raíz y los coeficientes de un polinomio de grado inferior (un polinomio que divide al propio polinomio). De esta manera, podemos reducir el grado del polinomio hasta llegar a un polinomio de segundo grado cuyas raíces podemos calcular rápidamente. En realidad, el método consiste en elegir una posible raíz y elaborar una tabla. Si el último resultado de la tabla es 0, el procedimiento se habrá completado correctamente. Si no, tendremos que intentarlo con otra posible raíz.

Método de ruffini

Sabemos que:

Cada raíz debe ser un divisor del término independiente (el término del polinomio que no tiene parte literal, es decir, que no tiene x).

y, por lo tanto, los divisores de esto son los candidatos.

Ejemplo de Aplicación del Método de ruffini

El polinomio es de grado 3.

Escribimos en la primera fila los coeficientes de cada monomio en orden decreciente de grado. Si hay algún coeficiente que sea 0 (en nuestro caso es el coeficiente de x 2 ), también debe ser escrito.


Ahora buscamos un número que sea divisor del término independiente, es decir, del término que no tiene parte literal (no x), y lo escribimos en la columna de la izquierda.

En nuestro polinomio el independiente es -2. Podemos elegir 1, -1, 2 o -2. Si no funciona, tendremos que probar otro hasta encontrar el bueno.

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El primer coeficiente va al final de la línea, sin ninguna operación.

Ahora multiplicamos el coeficiente que hemos bajado por el número de la columna de la izquierda y el resultado se escribe debajo del siguiente coeficiente, pero por encima de la línea.

Sumamos el número que hemos escrito con el coeficiente que tiene arriba y el resultado se escribe debajo de la línea:


Ahora repetimos el proceso:

Multiplicamos el número obtenido por el de la columna de la izquierda y lo colocamos bajo el siguiente coeficiente

Sumamos el número que hemos escrito con el coeficiente que tiene arriba y el resultado se escribe debajo de la línea

Es importante que el último número del proceso sea 0. Si no lo es, significa que el número de la columna de la izquierda no es útil y debemos elegir otro.

La raíz que del polinomio que hemos calculado está en la columna de la izquierda.

Tenemos la raíz x = 2.

Los números que están debajo de la línea son los coeficientes de un polinomio de un grado menos (en nuestro caso, del grado 2).

El polinomio de un grado menor es

Por lo tanto, la primera factorización es


Y la raíz x = 2.

Si queremos calcular las otras raíces, aplicamos de nuevo el método al polinomio de un grado menos. En nuestro caso, como es de grado 2, utilizamos la fórmula de las ecuaciones cuadráticas:

Es una raíz doble.

La factorización queda así:

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