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Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, dos matrices están asociadas a él: Una matriz de coeficientes y una matriz extendida A* (la columna de términos independientes se añade a la matriz de coeficientes).

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Se llama ecuación lineal con tres incógnitas la suma de las tres incógnitas, multiplicada por números, e igualando la suma a otro número (las incógnitas no pueden elevarse a exponentes ni multiplicarse entre sí)

Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen que la igualdad se verifique.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales referidas todas ellas a las mismas incógnitas. Un sistema 3x3 significa 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores que verifican todas y cada una de las ecuaciones.

Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas ejemplo

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de las ecuaciones representa un plano. De acuerdo con las posibles relaciones que se den entre los tres planos, se determina el tipo de solución que tiene el sistema:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que no tienen solución:

  1. Tres planos paralelos.
  2. Dos planos paralelos y otro los corta.
  3. Plano paralelo a la línea de corte de los otros dos.
  4. Dos planos superpuestos y el otro paralelo.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen infinitas soluciones

  1. Tres planos superpuestos.
  2. Haz de planos.
  3. Dos planos superpuestos y otro que los corta.
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Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas que tienen solución única

  1. Tres planos que se cortan en un punto.

Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones

A continuación, a través de un ejemplo se mostrará como dar solución a un sistema lineal de tres ecuaciones.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9 ............................ (primer ecuación)

4x + 5y + 6z = 24 .......................... (segunda ecuación)

3x + y - 2z = 4 ............................ (tercera ecuación)

Solución:

Suma (-4) veces la "primera ecuación" a la "segunda":

x + 2y + 3z = 9

-3y - 6z = -12

3x + y - 2z = 4

Suma (-3) veces la "primera ecuación" a la "tercera":

x + 2y + 3z = 9

-3y - 6z = -12

-5y - 11z = -23

Multiplica por -(1/3) la "segunda ecuación":

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

-5y -11z = -23

Multiplica por (-1) la "tercera ecuación":

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

5y +11z = 23

Suma (-5) a la "segunda ecuación" y "tercera ecuación":

x + 2y + 3z = 9

y + 2z = 4

z = 3

Las soluciones del último sistema son fáciles de hallar por sustitución.

De la "tercera ecuación", vemos que z = 3.

Al sustituir "z" con 3 en la "segunda ecuación", y + 2z = 4 se obtiene y =(-2)

Por último, encontramos el valor de "x" al sustituir y =(-2) y z = 3, en la "primera ecuación", x + 2y + 3z = 9 con lo cual x = 4.

Por tanto, hay una solución:

x = 4

y =(-2)

z = 3

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