Derivada de una función en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x=a se denota por f´(a) y se calcula con el límite:
La derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
Si nos fijamos en el gráfico siguiente la pendiente de la tangente es igual:
Mide lo que se incrementa “y” (variable dependiente) cuando se incrementa la variable independiente “x”.
Si el intervalo considerado (incremento de x) fuera cada vez más pequeño la pendiente de la tangente se iría aproximando cada vez más al incremento de la función.
Por eso la derivada equivale al límite de la variación de la variable dependiente "y" cuando la variación de la variable independiente es cada vez menor (cuando el aumento de la variable independiente tiende a cero).
La función derivada (se representa f'(x)) es la función que nos da el valor de la derivada de la función f(x) para cada valor de "x".
El proceso de cálculo de la función derivada de una función dada se denomina diferenciación y entra dentro del área de las matemáticas llamada cálculo infinitesimal.
Algunas funciones no tienen derivadas en todos o algunos de sus puntos
Para que una función sea derivable en un punto debe ser continua en ese punto, es decir, pequeños incrementos de la variable independiente producen pequeñas variaciones de la variable dependiente. Sin embargo, el hecho de que una función sea continua no garantiza que sea derivable.
Una función es derivable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del intervalo.
La derivada de una función también puede ser derivable. La derivada de una primera derivada se llama segunda derivada. También podría existir la tercera derivada y así sucesivamente. Este proceso se llama derivación sucesiva.
Cuando una función tiene más de una variable independiente podemos hablar de la derivada parcial cuando derivamos la función respecto a una de las variables independientes (tratando el resto de variables independientes como si fueran constantes).
