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Resolución de desigualdades de segundo grado con una incógnita

Resolución de desigualdades de segundo grado con una incógnita
Una desigualdad de segundo grado con una desconocida es cualquier desigualdad que, directamente o a través de transformaciones de equivalencia, puede expresarse de una de las siguientes maneras: ax2+bx+c>0; ax2+bx+c< 0; ax2+bx+c ³0 ó ax2+bx+c £ 0 con a, b y c reales y a¹0

Resolución de desigualdades de segundo grado con una incógnita

Resolver la desigualdad es encontrar el intervalo o intervalos de la línea real donde se verifica la desigualdad. Para su estudio, distinguiremos tres casos según el discriminante:

  • DISCRIMINANTE POSITIVO,  D>0: cuando b2- 4ac > 0 la ecuacion ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas, x1 y x2, y podemos escribir:

ax2+bx+c=a·(x-x1)·(x-x2)

Bastará con estudiar el signo de los tres factores para saber el signo del trinomio.
  • DISCRIMINANTE CERO, D=0: cuando  b2- 4ac > 0 la ecuacion ax2+bx+c=0 tiene una solución real doble, x1= x2, y podemos escribir:
ax2+bx+c=a·(x-x1)2
Como (x-x1)2³ 0, el trinomio tendrá el signo del coeficiente a y será nulo para x = x1.
  • DISCRIMINANTE NEGATIVO, D<0: cuando  b2- 4ac < 0 la ecuacion ax2+bx+c=0 no tiene solución real(no hay puntos de corte con el eje X). Por lo tanto, el signo del trinomio es el mismo que el del coeficiente a.

RESOLUCIÓN GRÁFICA

La resolución gráfica de una inecuación de segundo grado, ax2+bx+c>0, se realiza mediante la representación gráfica de la función y=ax2+bx+c(parábola). Se trata, por tanto, de estudiar el signo de y, según sea la desigualdad que nos dan.

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