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Sólidos de revolución ejercicios resueltos

Sólidos de revolución ejercicios resueltos
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una línea recta que está contenida en el mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución. Un sólido de revolución o volumen de revolución es un sólido obtenido por la rotación de una región del plano alrededor de una línea situada en el mismo plano, que puede o no cruzarse. Esta línea se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura gira alrededor del eje X, genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Tipos de sólidos de revolución

Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una línea recta que está contenida en el mismo plano.

Los sólidos de revolución son figuras que se forman al girar 360° una región de un plano alrededor de una línea, o eje de rotación, también contenida en el mismo plano.

Esfera

La esfera es el conjunto de puntos en el espacio tridimensional equidistante de un punto definido como el centro de la esfera. O lo que es lo mismo, es la figura geométrica descrita por un semicírculo al girar sobre su diámetro.

Un círculo es la superficie que existe dentro de un círculo.

Cilindro

El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando una línea, llamada generador, gira alrededor de otra línea fija, llamada eje. El eje y el generador están en el mismo plano y son dos líneas paralelas. O, también, un cilindro recto de revolución es la figura que se describe al girar un rectángulo en uno de sus lados.

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Cono

El cono derecho es el sólido de la revolución generado por la rotación de un triángulo recto alrededor de una de sus patas. Llamamos base al círculo inferior del cono y g a las generatrices que se unen en el vértice del cono.

El tronco del cono

El tronco del cono recto (o cono truncado recto) es el sólido de revolución generado por el giro de un trapezoide de ángulo recto en el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono paralelo a la base y eliminando la parte que tiene el vértice del cono.

Toro

El toro es un área de revolución generada por la rotación de un círculo cuyo centro corre a lo largo de otro círculo de mayores dimensiones, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales (perpendiculares).

Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

Método de disco

Si rotamos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución.

Método de la arandela

Este método consiste en encontrar el volumen de un sólido generado por la rotación de una región R que se encuentra entre 2 curvas. Si la región que rotamos para formar un sólido no toca o cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.

Sólidos de revolución ejercicios resueltos

Consideremos el cono generado al girar alrededor del eje OX el segmento de la línea y = x entre x = 0 y x = 2 .

El volumen del cuerpo de revolución que genera f(x) y g(x) con x∈ [a, b] al girar alrededor del eje OX se calcula de la siguiente manera:

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